本文實(shí)例講述了PHP實(shí)現(xiàn)的迪科斯徹(Dijkstra)最短路徑算法。分享給大家供大家參考，具體如下：

一、待解決問(wèn)題

單源最短路徑問(wèn)題，在給定有向圖中求一個(gè)頂點(diǎn)（單源頂點(diǎn)）到其他所有頂點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題。在下圖中，每條邊上有一個(gè)權(quán)值，希望求解A到所有其他頂點(diǎn)（B/C/D/E/F/G）的最短路徑。

二、問(wèn)題分析（最短路徑的子結(jié)構(gòu)同樣最優(yōu)性）

如果P（A,G）是從頂點(diǎn)A到G的最短路徑,假設(shè)D和F是這條路徑上的中間點(diǎn)，那么P(D,F)一定時(shí)從D到F的最短路徑。如果P(D,F)不是D到F的最短路徑，那必然存在某一個(gè)節(jié)點(diǎn)M的另一條D到F的路徑可以使P(A,B...M...F,G)比P(A,G)小，自相矛盾。

有了這樣的性質(zhì)，我們可以了解Dijkstra算法。

三、Dijkstra算法

Dijkstra 算法，又叫迪科斯徹算法（Dijkstra），又稱(chēng)為單源最短路徑算法，所謂單源是在一個(gè)有向圖中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，求該頂點(diǎn)至所有可到達(dá)頂點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題。 問(wèn)題描述為設(shè)G=（V，E）是一個(gè)有向圖，V表示頂點(diǎn)，E表示邊。它的每一條邊（i，j）屬于E，都有一個(gè)非負(fù)權(quán)W（I,j），在G中指定一個(gè)結(jié)點(diǎn)v0，要求把從v0到G的每一個(gè)接vj（vj屬于V）的最短有向路徑找出來(lái)（或者指出不存在）。 Dijstra算法是運(yùn)用貪心的策略，從源點(diǎn)開(kāi)始，不斷地通過(guò)相聯(lián)通的點(diǎn)找出到其他點(diǎn)的最短距離。

Dijkstra的貪心應(yīng)用在他利用（二）中的性質(zhì)，不斷地選取“最近”的節(jié)點(diǎn)并試探每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有可能存在鏈接，以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。對(duì)于源點(diǎn)A，逐步擴(kuò)展，根據(jù)dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}更新與i直接相鄰的頂點(diǎn)信息。

算法描述

1)算法思想：

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)帶權(quán)有向圖，把圖中頂點(diǎn)集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點(diǎn)集合（用S表示，初始時(shí)S中只有一個(gè)源點(diǎn)，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點(diǎn)都加入到S中，算法就結(jié)束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合（用U表示），按最短路徑長(zhǎng)度的遞增次序依次把第二組的頂點(diǎn)加入S中。在加入的過(guò)程中，總保持從源點(diǎn)v到S中各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度不大于從源點(diǎn)v到U中任何頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度。此外，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)距離，S中的頂點(diǎn)的距離就是從v到此頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，U中的頂點(diǎn)的距離，是從v到此頂點(diǎn)只包括S中的頂點(diǎn)為中間頂點(diǎn)的當(dāng)前最短路徑長(zhǎng)度。

2)算法步驟：

a.初始時(shí)，S只包含源點(diǎn)，即S＝{v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點(diǎn)，即:U={其余頂點(diǎn)}，若v與U中頂點(diǎn)u有邊，則<u,v>正常有權(quán)值，若u不是v的出邊鄰接點(diǎn)，則<u,v>權(quán)值為∞。

b.從U中選取一個(gè)距離v最小的頂點(diǎn)k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長(zhǎng)度）。

c.以k為新考慮的中間點(diǎn)，修改U中與k相鄰的各頂點(diǎn)的距離；若從源點(diǎn)v到頂點(diǎn)u的距離（經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k）比原來(lái)距離（不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k）短，則修改頂點(diǎn)u的距離值，修改后的距離值為頂點(diǎn)k的距離加上k與u邊上的權(quán)。

d.重復(fù)步驟b和c直到所有頂點(diǎn)都包含在S中。

四、算法PHP實(shí)現(xiàn)

<?php
class Dijkstra
{
  private $G;
  public function __construct()
  {
    //有向圖存儲(chǔ)
    $this->G = array(
      array(0,1,2,0,0,0,0),
      array(0,0,0,1,2,0,0),
      array(0,0,0,0,0,2,0),
      array(0,0,0,0,0,1,3),
      array(0,0,0,0,0,0,3),
      array(0,0,0,0,0,0,1),
      array(0,0,0,0,0,0,0),
    );
  }
  public function calculate()
  {
    // 存儲(chǔ)已經(jīng)選擇節(jié)點(diǎn)和剩余節(jié)點(diǎn)
    $U = array(0);
    $V = array(1,2,3,4,5,6);
    // 存儲(chǔ)路徑上節(jié)點(diǎn)距離源點(diǎn)的最小距離
    $d = array();
    //初始化圖中節(jié)點(diǎn)與源點(diǎn)0的最小距離
    for($i=1;$i<7;$i++)
    {
      if($this->G[0][$i]>0)
      {
        $d[$i] = $this->G[0][$i];
      }
      else
      {
        $d[$i] = 1000000;
      }
    }
    // n-1次循環(huán)完成轉(zhuǎn)移節(jié)點(diǎn)任務(wù)
    for($l=0;$l<6;$l++)
    {
      // 查找剩余節(jié)點(diǎn)中距離源點(diǎn)最近的節(jié)點(diǎn)v
      $current_min = 100000;
      $current_min_v = 0;
      foreach($V as $k=>$v)
      {
        if($d[$v] < $current_min)
        {
          $current_min = $d[$v];
          $current_min_v = $v;
        }
      }
      //從V中更新頂點(diǎn)到U中
      array_push($U,$current_min_v);
      array_splice($V,array_search($current_min_v,$V),1);
      //更新
      foreach($V as $k=>$u)
      {
        if($this->G[$current_min_v][$u]!=0&&$d[$u]>$d[$current_min_v]+$this->G[$current_min_v][$u])
        {
          $d[$u] = $d[$current_min_v]+$this->G[$current_min_v][$u];
        }
      }
    }
    foreach($d as $k => $u)
    {
      echo $k.'=>'.$u.'<br>';
    }
  }
}
?>

調(diào)用類(lèi)：

$D = new Dijkstra;
$D->calculate();

執(zhí)行結(jié)果：

1=>1
2=>2
3=>2
4=>3
5=>3
6=>4